Question

【题目】已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为．

(1) 求的解析式；

(2) 求过点的切线方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】试题分析：（1）由函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为，求出导函数，可得是的两根，且，解方程组即可求得的值，从而求得的解析式；（2）设切点，求切线方程，将点切线方程得到，解方程可得，从可得切线斜率，运用点斜式方程，进而得到所求切线的方程.

试题解析：（1）函数f（x）=ax3+bx2+cx的导数为f'（x）=3ax2+2bx+c， 依题，

又f'（0）=﹣3即c=﹣3 ∴a=1，b=0， ∴f（x）=x3﹣3x

（2）解：设切点为（x0 ， x03﹣3x0）， ∵f'（x）=3x2﹣3∴切线的斜率为f'（x0）=3x02﹣3，∴切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0），

又切线过点A（2，2），

∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0），

∴2x03﹣6x02+8=0，即为2（x0+1）（x0﹣2）2=0， 解得x0=﹣1或2，

可得过点A（2，2）的切线斜率为0或9，

即有过点A（2，2）的切线方程为y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2），

即为y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0 .