Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn为数列{ }的前n项和，求证：1≤Sn＜4．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），

可得an+1+1=2（an+1），

即有数列{an+1}为首项为2，公比为2的等比数列，

则an+1=2n，即为an=2n﹣1

（2）解：证明： = =n（ ）n﹣1，

前n项和Sn=11+2 +3 +…+n（ ）n﹣1，

Sn=1 +2 +3 +…+n（ ）n，

两式相减可得， Sn=1+ + + +…+（ ）n﹣1﹣n（ ）n，

= ﹣n（ ）n，

化简可得前n项和Sn=4﹣（2n+4）（ ）n．

由 = ＜1，

可得（2n+4）（ ）n为递减数列，

则Sn为递增，则Sn≥S1=1，且Sn＜4．

即有1≤Sn＜4．

【解析】（1）由题意可得an+1+1=2（an+1），运用等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求出 = =n（ ）n﹣1 ， 再由数列的求和方法：错位相减法，结合数列的单调性，即可得证．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．