【题目】如图,在正方体中,点
是线段
上的动点,则下列说法错误的是( )
A. 无论点在
上怎么移动,异面直线
与
所成角都不可能是
B. 无论点在
上怎么移动,都有
C. 当点移动至
中点时,才有
与
与相交于一点,记为点
,且
D. 当点移动至
中点时,直线
与平面
所成角最大且为
【答案】D
【解析】
结合正方体的结构特征及直线和平面的位置关系,对选项逐个分析即可选出答案。
对于A选项,设正方体棱长为1,连结,由于
,故
就是直线
与
所成角,假如
,则
,因为三角形
是边长为
的正三角形,高为
,所以
,由于
,故不成立,即直线
与
所成角都不可能是
,故A正确;
对于B选项,连结,易知
,且
,
,则
平面
,故
,同理可证
,因为
,所以
平面
,由于
在平面
上,故无论点
在
上怎么移动,都有
,即选项B正确;
对于C选项,易证和
是正三棱锥,则
和
在平面
的投影落在三角形
的重心,故当点
移动至
中点时,才有
与
与相交于一点,记为点
,且
,即选项C正确;
对于D选项,易证是正四面体,点
在
中点,设
在平面
的投影为
,正四面体侧棱为
,直线
与平面
所成角
,则
,
,
,故
,即选项D不正确。
故选D.
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【题目】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(I)求证:AC⊥BD1;
(Ⅱ)是否存在直线与直线AA1,CC1,BD1都相交?若存在,请你在图中画出两条满足条件的直线(不必说明画法及理由);若不存在,请说明理由.
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【题目】某乡镇为了提高当地地方经济总量,决定引进资金对原有的两个企业和
进行改造,计划每年对两个企业共投资500万元,要求对每个企业至少投资50万元.根据已有经验,改造后
企业的年收益
(单位:万元)和
企业的年收益
(单位:万元)与投入资金
(单位:万元)分别满足关系式:
,
.设对
企业投资额为
(单位:万元),每年两个企业的总收益为
(单位:万元).
(1)求;
(2)试问如何安排两个企业的投入资金,才能使两个企业的年总收益达到最大,并求出最大值.
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【题目】要得到函数y= cosx的图象,只需将函数y=
sin(2x+
)的图象上所有的点的( )
A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动
个单位长度
B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动
个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度
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【题目】已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn为数列{ }的前n项和,求证:1≤Sn<4.
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