Question

【题目】在正三棱锥S﹣ABC中，AB= ，M是SC的中点，AM⊥SB，则正三棱锥S﹣ABC外接球的球心到平面ABC的距离为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：取AC的中点N，连接BN，因为SA=SC，所以AC⊥SN，由∵△ABC是正三角形，∴AC⊥BN． 故AC⊥平面SBN，AC⊥BC．
又∵AM⊥SB，AC∩AM=A，∴SB⊥平面SAC，SB⊥SA且SB⊥SC
故得到SB，SA，SC是三条两两垂直的．可以看成是一个正方体切下来的一个正三棱锥．
故外接圆直径2R=
∵AB= ，∴SA=1．
那么：外接球的球心与平面ABC的距离为正方体对角线的 ，即d= ．
所以答案是： ．

【考点精析】利用棱锥的结构特征对题目进行判断即可得到答案，需要熟知侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方．