Question

【题目】设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．
（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．
（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣ =﹣ 是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）= ．

当m≤0时，由x＞0知f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．

当m≥1时，由x＞0知f′（x）＞0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．

当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜ ，由f'（x）＜0，得x＞ ，

此时f（x）在区间（0， ）内单调递增，在区间（ ，+∞）内单调递减．

所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M=f（ ）=mln ﹣m．

因为M＞0，所以有mln ﹣m＞0，解之得m＞ ．

所以m的取值范围是（ ，1）

（2）解：m=1时，方程可化为xlnx= ﹣ ．

设h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，

∴x∈（0， ），h′（x）＜0，x∈（ ，+∞），h′（x）＞0，

∴h（x）min=h（ ）=﹣ ，

设g（x）= ﹣ ．g′（x）= ，

0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0，

∴g（x）max=g（1）=﹣ ，

∵ ≠1，∴h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，

∴方程xf（x）﹣ =﹣ 没有实数根

【解析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，可得函数的最大值，M＞0，所以有mln ﹣m＞0，解之得m＞ ．即可求m的取值范围．（2）m=1时，方程可化为xlnx= ﹣ ．构造函数h（x）=xlnx，g（x）= ﹣ ，证明h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．