Question

【题目】某乡镇为了提高当地地方经济总量，决定引进资金对原有的两个企业和进行改造，计划每年对两个企业共投资500万元，要求对每个企业至少投资50万元.根据已有经验，改造后企业的年收益（单位：万元）和企业的年收益（单位：万元）与投入资金（单位：万元）分别满足关系式：，.设对企业投资额为（单位：万元），每年两个企业的总收益为（单位：万元）.

（1）求；

（2）试问如何安排两个企业的投入资金，才能使两个企业的年总收益达到最大，并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）420万元； （2）对企业投资108万元，对企业投资392万元时总收益最大，最大收益为432万元.

【解析】

（1）根据收益公式计算;

（2）求出函数的表达式，利用换元法把问题转化为二次函数的最值问题.

（1）对企业投资300万元，则对企业投资200万元，

∴

（万元）.

（2）设对企业投资万元，则对企业投资为万元.

∵每个企业至少投资50万元，∴，解得.

∴

.

令，则，上式化为

.

∴当时，取最大值，即时，取最大值，最大值为432万元.

综上，对企业投资108万元，对企业投资392万元时总收益最大，最大收益为432万元.