【题目】已知函数f(x)=log2(x+a).
(Ⅰ)当a=1时,若f(x)+f(x-1)>0成立,求x的取值范围;
(Ⅱ)若定义在R上奇函数g(x)满足g(x+2)=-g(x),且当0≤x≤1时,g(x)=f(x),求g(x)在[-3,-1]上的解析式,并写出g(x)在[-3,3]上的单调区间(不必证明);
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的g(x),若关于x的不等式g()≥g(-)在R上恒成立,求实数t的取值范围.
【答案】(I);(II)见解析;(III).
【解析】
(Ⅰ)当时,可化为,解不等式组可得答案
(II)根据已知可得,在结合条件求得的解析式,进而分析出在上的单调区间
(III)关于的不等式在上恒成立,即,分类讨论后,综合讨论结果,可得答案
解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=log2(x+1).
∴f(x-1)=log2x,
∴f(x)+f(x-1)=log2(x+1)+log2x=log2[x(x+1)],
若f(x)+f(x-1)>0,则,
解得:x∈(,+∞),
即x的取值范围为(,+∞);
(Ⅱ)∵函数g(x)是定义在R上奇函数,
故g(0)=0,
又∵当0≤x≤1时,g(x)=f(x)=log2(x+a).
故a=1,
当x∈[-2,-1]时,x+2∈[0,1],
∴g(x)=-g(x+2)=-log2(x+3).
当x∈[-3,-2]时,x+2∈[-1,0],-(x+2)∈[0,1],
∴g(x)=-g(x+2)=g[-(x+2)]=log2[-(x+2)+1]=log2(-x-1).
故g(x)=,
g(x)在[-3,-1]和[1,3]上递减,在[-1,1]上递增;
(III)记u==-+,
当t+1≥0时,u∈(-,-+)=(-,),
由g()≥g(-)在R上恒成立可得:(-,)[,],
解得:t∈[-1,20].
当t+1<0时,u∈(-+,-)=(,-),
由g()≥g(-)在R上恒成立可得:(,-)[.],
解得:t∈[-4,-1).
综上所述实数t的取值范围为[-4,20].
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【题目】已知函数f(x)=sin(2ωx﹣ )(ω>0)的最小正周期为4π,则( )
A.函数f(x)的图象关于点( ,0)对称
B.函数f(x)的图象关于直线x= 对称
C.函数f(x)的图象在( ,π)上单调递减
D.函数f(x)的图象在( ,π)上单调递增
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【题目】如图,准备在墙上钉一个支架,支架由两直杆AC与BD 焊接而成,焊接点 D 把杆AC 分成 AD, CD 两段,其中两固定点A,B 间距离为1 米,AB 与杆 AC 的夹角为60 ,杆AC 长为 1 米,若制作 AD 段的成本为a 元/米,制作 CD 段的成本是 2a 元/米,制作杆BD 成本是 3a 元/米. 设 ADB ,则制作整个支架的总成本记为 S 元.
(1)求S关于 的函数表达式,并求出的取值范围;
(2)问 段多长时,S最小?
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【题目】已知椭圆C: 的右顶点A(2,0),且过点
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点B(1,0)且斜率为k1(k1≠0)的直线l于椭圆C相交于E,F两点,直线AE,AF分别交直线x=3于M,N两点,线段MN的中点为P,记直线PB的斜率为k2 , 求证:k1k2为定值.
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【题目】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(I)求证:AC⊥BD1;
(Ⅱ)是否存在直线与直线AA1,CC1,BD1都相交?若存在,请你在图中画出两条满足条件的直线(不必说明画法及理由);若不存在,请说明理由.
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【题目】已知集合A={x|x2-ax+a2-13=0},B={x|x2-4x+3=0},C={x|x2—3x=0}.
(1)若A∩B=AB,求a的值;
(2)若,求a的值.
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【题目】在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a≠b,cos2A﹣cos2B= sinAcosA﹣ sinBcosB. (Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若c= ,siniA= ,求△ABC的面积.
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【题目】已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn为数列{ }的前n项和,求证:1≤Sn<4.
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