Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点，求证：
（1）EF⊥A₁C   
（2）平面A B₁D₁∥平面EFG．

Answer 1

分析：（1）连结BD，可得EF∥BD，正方形ABCD中，证出EF⊥AC．利用线面垂直的定义，证出AA₁⊥EF，根据线面垂直判定定理得到EF⊥平面AA₁C，再由A₁C是平面AA₁C内的直线，可得EF⊥A₁C；
（2）连结C₁D，利用三角形中位线定理和正方体的性质，证出FG∥AB₁，从而得出FG∥平面AB₁D₁，同理可得EF∥平面AB₁D₁，由面面平行判定定理可得平面A B₁D₁∥平面EFG．

解答：解：（1）连结BD，
∵EF为△BCD的中位线，∴EF∥BD，
∵四边形ABCD为正方形，得BD⊥AC，∴EF⊥AC，
又∵正方体中，AA₁⊥面ABCD，EF?面ABCD，∴AA₁⊥EF，
∵AA₁、AC是平面AA₁C内的相交直线，
∴EF⊥平面AA₁C，
又∵A₁C?平面EFG，∴EF⊥A₁C．
（2）连结C₁D
∵△CC₁D中，F、G分别是CD、CC₁的中点，∴FG∥C₁D
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD

∥

.

B₁C₁，
∴四边形ADB₁C₁是平行四边形，可得AB₁∥C₁D
因此FG∥AB₁
∵FG?平面AB₁D₁，AB₁?平面AB₁D₁，∴FG∥平面AB₁D₁
同理可得EF∥平面AB₁D₁
∵FG、EF为平面EFG内的相交直线，∴平面A B₁D₁∥平面EFG．

点评：本题在正方体中证明线面垂直和面面平行．着重考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质、面面平行与垂直的判定定理等知识，属于中档题．