Question

17．设函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x的图象与直线y=5-x交点的横为x₁、x₂，函数g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x的图象与直线y=5-x交点的横为x₃、x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄的值为10．

Answer 1

分析 x₁、x₂是（$\frac{1}{3}$）^x=5-x的两个根，得到x₁=5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$，x₂=5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$，再根据f（x）与g（x）互为反函数得到x₃=y₂=$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$，x₄=y₁=$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$，问题得以解决．

解答 解：函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x的图象与直线y=5-x交点的横为x₁、x₂，
∴x₁、x₂是（$\frac{1}{3}$）^x=5-x的两个根，
∴x₁=5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$，x₂=5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$，
∵f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x的图象与g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x关于y=x对称，
∴x₃=y₂=$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$，x₄=y₁=$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$，
∴x₁+x₂+x₃+x₄═5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$+5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$+$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$+$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$=10．
故答案为：10．

点评 本题考查了指数函数和对数函数的性质，以及方程的根的问题，关键是f（x）与g（x）互为反函数，属于中档题．