Question

9．已知抛物线ρ：x²=4y，P（x₀，y₀）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为$\frac{{x}_{0}}{2}$，则称直线l为点P的“特征直线”．设x₁、x₂为方程x²-ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}_{1}|，|{x}_{1}|≥|{x}_{2}|}\\{|{x}_{2}|，|{x}_{1}|＜|{x}_{2}|}\end{array}\right.$．
（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程
（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2
（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l₁、l₂，直线l₁、l₂相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=$\frac{{x}_{c}}{2}$（其中x_c为点C的横坐际）．

Answer 1

分析 （1）求得特征直线的斜率，哟哟点斜式方程即可得到所求方程；
（2）求出双曲线的渐近线方程，可得点G的“特征直线”的斜率为2，求得G的坐标，解方程可得较大的根，进而得到证明；
（3）设C（m，n），D（s，t），求得直线l₁、l₂的方程，求得交点M，解方程可得两根，再由向量共线的坐标表示，即可得证．

解答 解：（1）由题意可得直线l的斜率为1，
即有直线l的方程为y-1=x-2，即为y=x-1；
（2）证明：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$的渐近线为y=±$\frac{1}{2}$x，
可得点G的“特征直线”的斜率为2，
即有G的横坐标为4，可设G的坐标为（4，4），
可得点G的“特征直线”方程为y-4=2（x-4），
即为y=2x-4，
点Q（a，b）为线段GH上的点，可得b=2a-4，（0≤a≤4），
方程x²-ax+b=0的根为x=$\frac{a±\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2}$，
即有较大的根为$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4（2a-4）}}{2}$=$\frac{a+|4-a|}{2}$=$\frac{a+4-a}{2}$=2，
可得r（a，b）=2；
（3）设C（m，n），D（s，t），
即有直线l₁：y+n=$\frac{1}{2}$mx，l₂：y+t=$\frac{1}{2}$sx，
联立方程，由n=$\frac{1}{4}$m²，t=$\frac{1}{4}$s²，
解得x=$\frac{1}{2}$（m+s），y=$\frac{1}{4}$ms，
即有a=$\frac{1}{2}$（m+s），b=$\frac{1}{4}$ms，
则方程x²-ax+b=0的根为x₁=$\frac{1}{2}$m，x₂=$\frac{1}{2}$s．
可得E（0，-$\frac{1}{4}$m²），
点M在线段CE上，则b=$\frac{1}{2}$ma-$\frac{1}{4}$m²=$\frac{1}{4}$ms，
则$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{ME}$（λ≥0），即$\frac{1}{2}$（m+s）-m=λ（0-$\frac{1}{2}$（m+s）），
即有（s-m）（m+s）≤0，即s²≤m²，
即|s|≤|m|，
则r（a，b）=$\frac{{x}_{c}}{2}$；
以上过程均可逆，
即有点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=$\frac{{x}_{c}}{2}$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查抛物线的切线的方程的求法和运用，考查向量共线的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．