Question

1．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$，则g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2015}{2016}$）=（　　）

• A． 2016
• B． 2015
• C． 4030
• D． 1008

Answer 1

分析 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（$\frac{1}{2}$，1）对称，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到结论．

解答 解：函数g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$，函数的导数g′（x）=x²-x+3，
g″（x）=2x-1，
由g″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而g（$\frac{1}{2}$）=1，
故函数g（x）关于点（$\frac{1}{2}$，1）对称，
∴g（x）+g（1-x）=2，
故设g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2015}{2016}$）=m，
则g（$\frac{2015}{2016}$）+g（$\frac{2014}{2016}$）+…+g（$\frac{1}{2016}$）=m，
两式相加得2×2015=2m，
则m=2015．
故选：B．

点评 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．