Question

10．已知函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的图象在y轴左侧的第一个最高点为M，点M在x，y轴上的射影分别为M₁，M₂，O为坐标原点，四边形OM₁MM₂的面积为$\frac{5π}{3}$．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最值．

Answer 1

分析 （1）由题意，设M（x，y），则y=2，可得2x=$\frac{5π}{3}$，解得x=$\frac{5π}{6}$，可得：ω×$\frac{5π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即可解得ω的值．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（$\frac{2}{5}$x+$\frac{π}{6}$），由x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得：$\frac{2}{5}$x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{30}$，$\frac{π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可解得函数f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最值．

解答 解：（1）由题意，设M（x，y），则y=2，2x=$\frac{5π}{3}$，解得x=$\frac{5π}{6}$，
可得：ω×$\frac{5π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=$\frac{2}{5}$．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（$\frac{2}{5}$x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得：$\frac{2}{5}$x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{30}$，$\frac{π}{6}$]，
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{5}$x+$\frac{π}{6}$）∈[-2sin$\frac{π}{30}$，1]．
故函数f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值为1，最小值为-2sin$\frac{π}{30}$．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的图象与性质确定其解析式，考查正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．