Question

已知函数f(x)=log_a|x|(a＞0,且a≠1),且f(x²+4x+8)＞f(-π).

(1)写出函数f(x)的单调区间,并加以证明;

(2)若方程4^a-m·2^a+1+5=0有两个不相等的实根,求m的取值范围.

Answer 1

解：(1)由|x|＞0,知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

对定义域内的任一x,都有f(-x)=log_a|-x|=log_a|x|=f(x).

∴π,-π在定义域内.

∴f(-π)=f(π).

又x²+4x+8=(x+2)²+4≥4＞π＞0,

且f(x²+4x+8)＞f(-π)=f(π),

则a＞1.

∴函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数.

(2)令2^a=t,因为a＞1,所以t＞2.则方程4^a-m·2^a+1+5=0可化为g(t)=t²-2mt+5=0.

依题意t²-2mt+5=0有两个不等且大于2的实根,

则有(-2m)²-20＞0,且＞2.

又由g(2)＞0,解得＜m＜,

即方程有两不等实根时,＜m＜.