Question

如图所示，正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P．求证：BP⊥DC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：平面向量及应用,空间位置关系与距离

分析：设正三角形ABC的边长为，6，取B为坐标原点，BC为x轴，BE=2．可求出B，A，D，E，C点的坐标．从而可得AE方程，CD方程，解得交点P（

18

7

，

12 3

7

），可求出BP斜率与CD斜率之积为-1，从而证明BP⊥DC．

解答： 解：设正三角形ABC的边长为，6，取B为坐标原点，BC为x轴，BE=2．
则有：B（0，0），A（3，3

3

），D（2，2

3

），E（2，0），C（6，0）．
AE方程：3

3

=

y

x-2

．
CD方程：

2 3

-4

=

y

x-6

．
解得交点P（

18

7

，

12 3

7

）．
BP斜率=

12 3

18

=

2 3

3

．
CD斜率=

2 3

-4

=-

3

2

．
∵

2 3

3

×（-

3

2

）=-1．
∴BP⊥CD

点评：本题主要考察了直线与平面垂直的性质，平面向量及应用，属于基本知识的考查．