Question

已知函数f（x）=x³+1．
（1）求函数f（x）=x³+1在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求该函数的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：先根据切点在曲线上求出m的值，然后利用导数的几何意义求出在x=1处的导数即为切线的斜率，从而求出切线方程．（2）利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）∵点P（1，f（1））为切点
∴f（1）=2，
∴P （1，2）为切点，
∵y′=3x²
∴y′|_x=1=3，切点为（1，2）
∴函数f（x）=x³+1在点（1，2）切线方程为y-2=3（x-1），整理得y=3x-1
所以函数f（x）=x³+1在点（1，f（1））处的切线方程切线方程：3x-y-1=0；
（2）f′（x）=3x²≥0恒成立，
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴f（x）在定义域内是增函数，单调递增区间是（-∞，+∞）．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调区间，明确导数的几何意义，正确求导是关键．属于基础题．