Question

已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，8]，不等式log

1

3

(x+1)≥m2-3m恒成立；命题q：存在x∈(0，

2π

3

)，使不等式2sin²x+2sinxcosx≤

2

m（sinx+cosx）成立．
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）令f（x）=log

1

3

(x+1)，则f（x）在（-1，+∞）上为减函数，利用单调性可得：f（x）_min=f（8）=-2．不等式log

1

3

(x+1)≥m2-3m恒成立，等价于-2＞m²-3m，解出即可．
（2）不等式2sin²x+2sinxcosx≤

2

m（sinx+cosx）化为：2sinx（sinx+cosx）≤

2

m（sinx+cosx），由于x∈(0，

2π

3

)，可得sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)＞0，可得m≥

2

sinx，由于x∈(0，

2π

3

)，sinx∈（0，1]．因此存在x∈(0，

2π

3

)，使不等式2sin²x+2sinxcosx≤

2

m（sinx+cosx）成立．可得m＞0．由于p∧q为假，p∨q为真，可得p与q必然一真一假．

解答： 解：（1）令f（x）=log

1

3

(x+1)，则f（x）在（-1，+∞）上为减函数，
∵x∈[0，8]，
∴当x=8时，f（x）_min=f（8）=-2．
不等式log

1

3

(x+1)≥m2-3m恒成立，等价于-2＞m²-3m，
解得1≤m≤2．
（Ⅱ）不等式2sin²x+2sinxcosx≤

2

m（sinx+cosx）化为：2sinx（sinx+cosx）≤

2

m（sinx+cosx），
∵x∈(0，

2π

3

)，∴

π

4

＜x+

π

4

＜

11π

12

，
∴sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)＞0，
∴m≥

2

sinx，
∵x∈(0，

2π

3

)，∴sinx∈（0，1]，
∵存在x∈(0，

2π

3

)，使不等式2sin²x+2sinxcosx≤

2

m（sinx+cosx）成立．
∴m＞0．
∵p∧q为假，p∨q为真，
∴p与q必然一真一假．
若p为真，q为假，那么

1≤m≤2 m≤0

，则无解
若p为假，q为真，那么

m＜1或m＞2 m＞0

，则m＞2．
综上所述：m＞2．

点评：本题综合考查了对数函数的单调性、三角函数的单调性、复合命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．