Question

已知圆M：x²+8x+y²=0和圆N：x²-8x+y²+12=0，点P（x₀，y₀）（y₀≠0），曲线C：x²-

y2

15

=1右支上的动点，线段PM、PN分别交圆M于A，交圆N于B．
（1）证明：△PAB是等腰三角形；
（2）记△PAB、△PMN的面积分别为S₁、S₂，求

S2

S1

的取值范围．
（3）记点A处圆M的切线为l₁，点B处圆N的切线为l₂，求l₁和l₂交点Q的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出圆M，圆N的圆心和半径，运用双曲线的定义，即可证得PA=PB；
（2）运用三角形的面积公式，运用双曲线的第二定义，及双曲线的范围，即可得到所求范围；
（3）运用切线的性质，得到QA=QB，再由勾股定理，运用两点的距离，化简整理，即可得到Q的轨迹方程．

解答： （1）证明：圆M：x²+8x+y²=0的圆心M（-4，0），半径为4，
圆N：x²-8x+y²+12=0的圆心N（4，0），半径为2，
双曲线C：x²-

y2

15

=1的焦点即为M，N，e=

c

a

=4，准线x=±

1

4

，
由双曲线的定义，可得，PM-PN=2a=2，
PM=PA+4，PN=PB+2，即有PA-PB=0，即PA=PB，
则△PAB是等腰三角形；
（2）解：由于△PAB、△PMN的面积分别为S₁、S₂，
设PA=t，则S₁=

1

2

t²sin∠APB，S₂=

1

2

（t+4）（t+2）sin∠APB，
则有

S2

S1

=

(t+4)(t+2)

t2

=1+

6

t

+

8

t2

=8（

1

t

+

3

8

）²-

1

8

．
由于PM•PN=e（x₀-

1

4

）•e（x₀+

1

4

）=16x₀²-1≥15．
即有（t+4）（t+2）≥15，解得，t≥1（t≤-7舍去）．
即0＜

1

t

≤1，则

S2

S1

∈（1，15]；
（3）解：连接QM，QN，由于PA=PB，
点A处圆M的切线为l₁，点B处圆N的切线为l₂，
则QA=QB，
设l₁和l₂交点Q（x，y），
则

QM2-AM2

=

QN2-BN2

，
即有

(x+4)2-16

=

(x-4)2-4

，
化简得，x=

3

4

．
则l₁和l₂交点Q的轨迹方程为x=

3

4

．

点评：本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查直线和圆相切的条件，考查三角形面积公式的运用，考查轨迹方程的求法，考查运算能力，属于中档题．