Question

已知函数f（x）=2sin（

π

4

+θ）[

3

sin（

π

4

+θ）+cos（

π

4

+θ）]，做∠A为△ABC的内角，f（A）=

3

+1．
（1）求∠A的大小；
（2）若a=3，BC边上的中线长为3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（1）把已知由同角三角函数的基本关系式化简，代入f（A）=

3

+1，结合A的范围求解A的值；
（2）分别在三角形ABC、三角形ADB、三角形ADC中运用余弦定理结合已知条件求得AB•AC的值，代入三角形的面积公式得答案．

解答： 解：f（θ）=2sin（

π

4

+θ）[

3

sin（

π

4

+θ）+cos（

π

4

+θ）]
=2

3

sin2(

π

4

+θ)+2sin(

π

4

+θ)cos(

π

4

+θ)
=

3

[1-cos(

π

2

+2θ)]+sin(

π

2

+2θ)
=

3

+

3

sin2θ+cos2θ
=

3

+2sin(2θ+

π

6

)．
（1）由f（A）=

3

+1，A∈（0，π），得

3

+2sin(2A+

π

6

)=

3

+1，
sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（2）如图，
在△ABC中，设BC中点为D，∠ADB=α，则∠ADC=π-α，
则BC2=AC2+AB2-2AB•ACcos

π

3

，
AB²=AD²+BD²-2AD•BDcosα，
AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos（π-α），
又AD=3，BD=DC=

3

2

，
联立以上各式求得：AB•AC=

45

2

．
∴S△ABC=

1

2

AB•ACsin

π

3

=

1

2

×

45

2

×

3

2

=

45 3

8

．

点评：本题考查了同角三角函数的基本关系式，考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．