Question

直线：ax-y-（a-5）=0（a是参数）与抛物线f：y=（x+1）²的相交弦是AB，求弦AB的中点轨迹方程．（利用点差法）

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：a≠0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设中点C（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入y=（x+1）²，利用点差法能求出弦AB的中点轨迹方程．

解答： 解：联立

ax-y-(a+5)=0 y=(x+1)2

，
化解得到x²+（2-a）x+a+6=0，
a=0时，（x+1）²=-5，不成立，方程组无解，即直线与抛物线不相交；
a≠0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设中点C（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入y=（x+1）²，
得

y1=(x1+1)2 y2=(x2+1)2

，两式相减得y₁-y₂=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（x₁-x₂），
∴y₁-y₂=（2x+2）（x₁-x₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=2x+2，
∵直线ax-y-（a-5）=0过点（0，5-a），（x，y），
∴k=

y-5+a

x

，
∴

y-5+a

x

=2x+2，
整理，得2x²+2x-y-a+5=0．
∴弦AB的中点轨迹方程为2x²+2x-y-a+5=0．

点评：本题考查弦中点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．