Question

已知f（x）=（a+1）lnx+ax²+1
（1）若a=-

1

2

，求f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，求实数a的取值范围；
（3）当a≤-2时求证：对任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=-

1

2

时，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系，即可求f（x）单调增区间；
（2）根据题意可知函数f（x）在（0，+∞）为减函数，转化为求参数的取值范围的问题，利用导数求出函数的最值即可；
（3）若a≤-2，根据函数f（x）的单调性，将不等式进行等价转化，即可证明不等式．

解答： 解：∵f（x）=（a+1）lnx+ax²+1的定义域为（0，+∞），
当a=-

1

2

，f（x）=

1

2

lnx-

1

2

x²+1，
∴f′（x）=

1

2x

-x=

1-2x2

2x

，
令f′（x）≥0，解得0＜x≤

2

2

，
故函数的单调递增区间为（0，

2

2

]，
（2）对任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′（x）＜0，
∴f′（x）=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

＜0在（0，+∞）恒成立，
∴a＜

-1

2x2+1

在（0，+∞）恒成立，
设g（x）=

-1

2x2+1

，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，
故g（x）＞g（0）=-1，
∴a≤-1
（3）由（2）可知f（x）在（0，+∞）单调减，
∴不妨设x₁＞x₂＞0
则|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|?f（x₂）-f（x₁）≥4x₁-4x₂，
即f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁
∴f（x）+4x在（0，+∞）单调减，
设h（x）=f（x）+4x=（a+1）lnx+ax²+4x+1（x＞0），
∴h′（x）=

a+1

x

+2ax+4=

2ax2+4x+a+1

x

∵a≤-2，
∴△=16-4×2a×（a+1）=-8（a²+a-2）=-8（a+2）（a-1）≤0，
∴h′（x）≤0恒成立．
∴h（x）为减函数，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|对?x∈（0，+∞）均成立．

点评：本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握函数单调性，最值和导数之间的关系，综合性较强，难度较大．