Question

8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．若$A=\frac{π}{4}，B-C=\frac{π}{2}，a=\sqrt{2}$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意和内角和定理求出B、C，由正弦定理求出b，代入三角形的面积公式后，利用二倍角的正弦公式化简，即可求出△ABC的面积．

解答 解：∵$A=\frac{π}{4}，B-C=\frac{π}{2}$，A+B+C=π，
∴$\frac{π}{4}+\frac{π}{2}+C+C=π$，解得C=$\frac{π}{8}$，则B=$\frac{5π}{8}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得：b=$\frac{a•sinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}•sin\frac{5π}{8}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$2sin\frac{5π}{8}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2sin\frac{5π}{8}×sin\frac{π}{8}$
=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2cos\frac{π}{8}×sin\frac{π}{8}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×sin\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查正弦定理，二倍角的正弦公式，以及三角形的面积公式的应用，属于中档题．