Question

20．已知函数f（x）=e^ax（其中e=2.71828…），$g（x）=\frac{f（x）}{x}$．
（1）若g（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）当$a=\frac{1}{2}$时，求函数g（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的单调性得到a≥$\frac{1}{x}$在x∈[1，+∞）上恒成立，而$\frac{1}{x}$≤1，从而求出a的范围即可；
（2）将a的值代入g（x），通过讨论m的范围，判断出g（x）的单调性，从而求出对应的g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）由题意得g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{ax}}{x}$在[1，+∞）上是增函数，
故${（\frac{{e}^{ax}}{x}）}^{′}$=$\frac{{e}^{ax}（ax-1）}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立，
即ax-1≥0在[1，+∞）恒成立，
a≥$\frac{1}{x}$在x∈[1，+∞）上恒成立，而$\frac{1}{x}$≤1，
∴a≥1；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，g（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}（\frac{x}{2}-1）}}{{x}^{2}}$，
当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）在[2，+∞）递增，
当x＜2且x≠0时，g′（x）＜0，即g（x）在（0，2），（-∞，0）递减，
又m＞0，∴m+1＞1，
故当m≥2时，g（x）在[m，m+1]上递增，此时，g（x）_min=g（m）=$\frac{{e}^{\frac{m}{2}}}{m}$，
当1＜m＜2时，g（x）在[m，2]递减，在[2，m+1]递增，此时，g（x）_min=g（2）=$\frac{e}{2}$，
当0＜m≤1时，m+1≤2，g（x）在[m，m+1]递减，此时，g（x）_min=g（m+1）=$\frac{{e}^{\frac{m+1}{2}}}{m+1}$，
综上，当0＜m≤1时，g（x）_min=g（m+1）=$\frac{{e}^{\frac{m+1}{2}}}{m+1}$，当1＜m＜2时，g（x）_min=g（2）=$\frac{e}{2}$，m≥2时，g（x）_min=g（m）=$\frac{{e}^{\frac{m}{2}}}{m}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．