Question

已知函数f(x)=

3

sin2x+sinxcosx-

3

2

(x∈R)．
（1）若x∈(0，

π

2

)，求f（x）的最大值；
（2）在△ABC中，若A＜B，f（A）=f（B）=

1

2

，求

BC

AB

的值．

Answer 1

（1）f（x）=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）
∵x∈(0，

π

2

)∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

．
∴当-2x-

π

3

=

π

2

时，即x=

5π

12

时，f（x）的最大值为1．
（2）由f（x）=sin（2x-

π

3

），
若x是三角形的内角，则0＜x＜π，
∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

5π

3

．
令f（x）=

1

2

，得sin（2x-

π

3

）=

1

2

，
∴2x-

π

3

=

π

6

或2x-

π

3

=

5π

6

，
解得x=

π

4

或x=

7π

12

．
由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且f（A）=f（B）=

1

2

，
∴A=

π

4

，B=

7π

12

，
∴C=π-A-B=

π

6

．
又由正弦定理，得

BC

AB

=

sinA

sinC

=

sin π 4

sin π 6

=

2 2

1 2

=

2

．