Question

10．长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为CD的中点，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=-1．

Answer 1

分析 法1：可画出图形，可以得出$\overrightarrow{AC}=-（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}）$，$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，然后进行数量积的运算即可求出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$的值．
法2：建立直角坐标系，利用向量法解决．

解答 解：如图，

$\overrightarrow{AC}=-（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}）$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}=-（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}）•（-\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}）$
=${\overrightarrow{CB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{CD}}^{2}$
=1+0-2
=-1．
法2：分别以DC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：

A（0，1），C（2，0），B（2，1），E（1，0）；
∴$\overrightarrow{AC}=（2，-1），\overrightarrow{BE}=（-1，-1）$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}=-2+1=-1$；
故答案为：-1．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，相反向量的概念，向量数乘的几何意义，以及数量积的运算，向量垂直的充要条件．