Question

15．已知a是方程xlgx=3的解，b是方程x•10^x=3的解，则a•b=（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 根据题意，得出a、b分别是函数y=$\frac{3}{x}$和y=lgx、y=10^x图象交点的横坐标，
再利用函数y=10^x和y=lgx互为反函数，图象关于直线y=x对称，得出a•b的值．

解答 解：∵a是方程xlgx=3的解，b是方程x•10^x=3的解，
∴a是函数y=$\frac{3}{x}$和y=lgx交点M的横坐标，
b是函数y=$\frac{3}{x}$和y=10^x的图象的交点N的横坐标；
又函数y=10^x和y=lgx互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，
∴M、N两个点关于直线y=x对称，
即线段MN的中点G在直线y=x上；
又点M（a，$\frac{3}{a}$），N（b，$\frac{3}{b}$），G（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{\frac{3}{a}+\frac{3}{b}}{2}$），
∴$\frac{a+b}{2}$=$\frac{\frac{3}{a}+\frac{3}{b}}{2}$，
整理，得a•b=3．
故选：A．

点评 本题考查了互为反函数的图象与性质的应用问题，也考查了方程与函数的应用问题，是基础题目．