Question

【题目】已知圆 M与圆N：（x﹣ ）2+（y+ ）2=r2关于直线y=x对称，且点D（﹣ ， ）在圆M上．
（1）判断圆M与圆N的公切线的条数；
（2）设P为圆M上任意一点，A（﹣1， ），B（1， ），P，A，B三点不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证：△PBG与△APG的面积之比为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于点N（ ，﹣ ）关于直线y=x对称点M（﹣ ， ），

r=|ND|= ，故圆M的方程为：（x+ ）2+（y﹣ ）2= ．

根据|MN|= = ＞2r，故两圆相离，

∴圆M与圆N的公切线有4条．

（2）证明：设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，∴△PBG与△APG的面积之比= ．

设点P（x，y），则：（x+ ）2+（y﹣ ）2= ．

PA2=（x+1）2+（y﹣ ）2 =（x+1）2+ ﹣（x+ ）2=﹣ x；

PB2=（x﹣1）2+（y﹣ ）2 =（x﹣1）2+ ﹣（x+ ）2=﹣ x；

∴ =2，即△PBG与△APG的面积之比=2．

【解析】（1）先求得点N关于直线y=x对称点M的坐标，可得圆M的方程，再根据圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆相离，即可得出结论；（2）设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，可得△PBG与△APG的面积之比= ．设点P（x，y），求得PA2和 PB2的值，可得 的值，即为△PBG与△APG的面积之比．