Question

17．已知命题p：?x∈R，使x²-4x+a＜0成立，命题q：?x∈R，|x-2|+|x+1|≥a恒成立．
（1）写出命题p的否定；
（2）若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据特殊命题的否定方法，可得到命题p的否定；
（2）若p或q为真，p且q为假，则p，q中一个为真，一个为假，进而可得满足条件的实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵命题p：?x∈R，使x²-4x+a＜0，
∴命题￢p：?x∈R，使x²-4x+a≥0，
（2）若命题p：?x∈R，使x²-4x+a＜0成立，
则△=16-4a＞0，即a＜4，
令y=|x-2|+|x+1|≥|（x-2）+（x+1）|=3，
若命题q：?x∈R，|x-2|+|x+1|≥a恒成立，
则a≤3，
∵p或q为真，p且q为假，
则p，q中一个为真，一个为假
当p真q假时，3＜a＜4，
当p假q真时，不存在满足条件的a值，
综上所述，实数a的取值范围为（3，4），

点评 本题主要考查了p或q复合命题的真假的应用，解题的关键是利用二次函数的性质及绝对值函数的单调性准确求出命题p，q为真时a的范围