Question

设函数f(x)=

ax2+1

bx

(a，b∈Z+) 满足f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b的值；
（2）当x≥

1

2

时，求出f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用条件可得

a+b b =2 4a+1 2b ＜3

，即

a=2b-1 4a+1 2b ＜3

，再根据0＜bb＜

3

2

，且a，b∈Z，求得a、b的值．
（2）由（1）得 f（x）=x+

1

x

，当x≥

1

2

时，利用基本不等式求得f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（1）=1，f（2）＜3，
∴

a+b b =2 4a+1 2b ＜3

，
化简可得

a=2b-1 4a+1 2b ＜3

，
故有

2b-3

2b

＜0，
∴0＜b＜

3

2

．
又a，b∈Z，∴a=b=1．
（2）由（1）得 f（x）=x+

1

x

，当x≥

1

2

时，
利用基本不等式可得f（x）≥2，当且仅当x=1时取等号，
故当x≥

1

2

时，f（x）的值域为[2，+∞）．

点评：本题主要考查求函数的解析式，基本不等式的应用，属于基础题．