Question

4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C与双曲线${y^2}-\frac{x^2}{2}=1$共焦点，且点P（1，2）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过定点A（2，0）作一条动直线与椭圆C相交于P，Q．O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值及取得最大值时直线PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆的焦点坐标为（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$），则a²=b²+3，将点P（1，2）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆C的方程；
（2）设直线AB方程为x=my+2，代入椭圆方程，由韦达定理及三角形的面积公式，令t=$\sqrt{6{m}^{2}-1}$，m²=$\frac{{t}^{2}+1}{6}$，利用基本不等式的性质即可求得三角形△OPQ面积的最大值及m的值．

解答 解：（1）双曲线${y^2}-\frac{x^2}{2}=1$，焦点坐标为（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$），
设椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），a²=b²+3，
将P（1，2）代入椭圆方程：$\frac{4}{{b}^{2}+3}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，解得：b²=3，a²=6，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$；
（2）设直线AB方程为x=my+2，代入椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，
整理得：（1+2m²）y²+8my+2=0，△=64m²-8（1+2m²）＞0，
解得：m²＞$\frac{1}{6}$，
S_△OPQ=$\frac{1}{2}$丨x₁y₂-x₂y₁丨=$\frac{1}{2}$丨（my₁+2）y₂-（my₂+2）y₁丨=丨y₂-y₁丨，
=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{8m}{2{m}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{2}{2{m}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{6{m}^{2}-1}}{2{m}^{2}+1}$，
令t=$\sqrt{6{m}^{2}-1}$，m²=$\frac{{t}^{2}+1}{6}$，
S_△OPQ=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{6{m}^{2}-1}}{2{m}^{2}+1}$=$\frac{2\sqrt{2}t}{2×\frac{{t}^{2}+1}{6}+1}$=$\frac{6\sqrt{2}t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{6\sqrt{2}}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{6\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当t=$\frac{4}{t}$，t=2时，m=±$\frac{\sqrt{30}}{6}$，三角形△OPQ面积的最大值，最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
此时的直线方程为x=±$\frac{\sqrt{30}}{6}$y+2．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．