Question

9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=$\sqrt{3}$csinA-acosC．
（1）求C；
（2）若c=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C-$\frac{π}{6}$）=1，结合C的范围，可得C的值．
（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，进而利用三角形面积公式可求△ABC面积的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵2a=$\sqrt{3}$csinA-acosC，
∴由正弦定理可得：2sinA=$\sqrt{3}$sinCsinA-sinAcosC，…2分
∵sinA≠0，
∴可得：2=$\sqrt{3}$sinC-cosC，解得：sin（C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵C∈（0，π），可得：C-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：C=$\frac{2π}{3}$．…6分
（2）∵由（1）可得：cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b²+a²+ab≥3ab，即：ab≤1，（当且仅当b=a时取等号）…8分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．