Question

12．设函数f（x）=|x-1|-|2x+1|的最大值为m．
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）若a²+2c²+3b²=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，作出函数f（x）的图象；
（2）求出函数的值域，即可求m的值，利用基本不等式求ab+2bc的最大值．

解答 解：（1）当x≤-$\frac{1}{2}$时，f（x）=（1-x）+2x+1=x+2；
当-$\frac{1}{2}$＜x＜1时，f（x）=（1-x）-2x-1=-3x：
当x≥1时，f（x）=（x-1）-2x-1=-x-2，
函数f（x）的图象，如图所示
；
（2）由题意，当x=-$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最大值m=1.5，∴a²+2c²+3b²=1.5，
∴ab+2bc≤$\frac{1}{2}$（a²+2c²+3b²）=$\frac{3}{4}$，即ab+2bc的最大值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．