Question

1．如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD，$AD=\sqrt{2}$，E为DC的中点，将它沿AE折成直二面角D-AE-B．
（1）求证：AD⊥平面BDE；
（2）求二面角B-AD-E的余弦值．

Answer 1

分析 方法一：（1）由题设可知 AD⊥DE，取AE的中点O，连结OD，BE．证明BE⊥AD即可得到AD⊥平面BDE．
（2）由（1）知AD⊥平面BDE．AD⊥DB，AD⊥DE，故∠BDE就是二面角B-AD-E的平面角
在Rt△BDE中，求二面角B-AD-E的余弦值为．
方法二（1）取AE的中点O，连结OD，BE，取AB的中点为F，连结OF，以O为原点，OA，OF，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
利用向量求解．

解答 方法一：解：（1）证明：由题设可知 AD⊥DE，取AE的中点O，连结OD，BE．
∵$AD=DE=\sqrt{2}$∴OD⊥AE．----1  分
又∵二面角D-AE-B为直二面角．∴OD⊥平面ABCE∴OD⊥BE------（3分）
又∵AE=BE=2$AB=2\sqrt{2}$∴AB²=AE²+BE²∴AE⊥BE
又∵OD∩AE=O∴BE⊥平面ADE∴BE⊥AD------（5分）
又∵BE∩DE=E∴AD⊥平面BDE------（6分）
（2）由（1）知AD⊥平面BDE∴AD⊥DBAD⊥DE∴∠BDE就是二面角B-AD-E的平面角------（8分）
又∵BE⊥平面ADE∴BE⊥DE
在Rt△BDE中，$BD=\sqrt{B{E^2}+D{E^2}}=\sqrt{6}$------（10分）
∴$cos∠BDE=\frac{DE}{BD}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴二面角B-AD-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$------（12分）


方法二（1）证明：由题设可知 AD⊥DE，取AE的中点O，连结OD，BE．∵$AD=DE=\sqrt{2}$∴OD⊥AE．----（1分）
又∵二面角D-AE-B为直二面角，∴OD⊥平面ABCE-----（3分）
又∵AE=BE=2$AB=2\sqrt{2}$∴AB²=AE²+BE²∴AE⊥BE
取AB的中点为F，连结OF，则OF∥EB∴OF⊥AE------（4分）
以O为原点，OA，OF，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）
则A（1，0，0），D（0，0，1），B（-1，2，0），E（-1，0，0），
于是$\overrightarrow{AD}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{BD}=（1，-2，1）$，$\overrightarrow{EB}=（0，2，0）$------（6分）
设$\overrightarrow n=（x，y．z）$是平面BDE的法向量，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{2y=0}\\{x-2y+z=0}\end{array}}\right.$
令x=1，则z=-1，于是$\overrightarrow n=（1，0．-1）$，∴$\overrightarrow n=-\overrightarrow{AD}$，∴$\overrightarrow n∥\overrightarrow{AD}$，∴AD⊥平面BDE．------（8分）
（2）设$\overrightarrow m=（x，y．z）$是平面ABD的法向量，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+z=0}\\{-x+z=0}\end{array}}\right.$
令x=1，则y=1，z=1，于是$\overrightarrow m=（1，1.1）$又平面ADE的法向量$\overrightarrow{OF}=（0，1，0）$-----（10分）
∴$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow{OF}}\right＞=\frac{{\overrightarrow m•\overrightarrow{OF}}}{{|\overrightarrow m||\overrightarrow{OF}|}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$------（12分）

点评 本题考查了空间折叠问题，线面垂直的判定，面面角的求法，属于基础题．