Question

11．已知圆锥底面半径为2，高为$\sqrt{5}$，有一球在该圆锥内部且与它的侧面和底面都相切，则这个球的体积为（　　）

• A． $\frac{{32\sqrt{5}π}}{25}$
• B． $\frac{{32\sqrt{5}π}}{75}$
• C． $\frac{8π}{5}$
• D． $\frac{16π}{5}$

Answer 1

分析 画出轴截面图形，设出球的半径，求出圆锥的高，利用三角形相似，求出球的半径．

解答 解：几何体的轴截面如图，设球的半径为r，球与圆锥侧面相切，则OE垂直于AB于E，BD垂直AD，E为AB上一点，O为AD上一点，
则△AEO～△ADB，∴$\frac{r}{2}=\frac{\sqrt{5}-r}{3}$，
∴r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴球的体积为$\frac{4}{3}π•（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{3}$=$\frac{32\sqrt{5}}{75}π$
故选：B．

点评 本题考查球的外接体问题，考查计算能力，是基础题．