Question

6．设正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的所有顶点都在球O的球面上，BC=2，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，则球O的表面积为（　　）

• A． $\frac{3π}{2}$
• B． 6π
• C． 8π
• D． 12π

Answer 1

分析 根据EF与DE的垂直关系，结合正棱锥的性质，判断三条侧棱互相垂直，再求得侧棱长，根据表面积公式计算即可

解答 解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，
又∵EF⊥DE，
∴AC⊥DE，
取BD的中点O，连接AO、CO，
∵三棱锥A-BCD为正三棱锥，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，
又DE∩BD=D，∴AC⊥平面ABD；
∴AC⊥AB，
设AC=AB=AD=x，则x²+x²=4⇒x=$\sqrt{2}$，
所以三棱锥对应的长方体的对角线为$\sqrt{3×2}$=$\sqrt{6}$，
所以它的外接球半径为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴球O的表面积为$4π•\frac{6}{4}$=6π
故选：B．

点评 本题考查了正三棱锥的外接球表面积求法，关键是求出三棱锥的三条侧棱长度，得到对应的长方体对角线，即外接球的直径．