Question

(1)已知x＞1,求证不等式x＞ln(1+x);

(2)当0＜x＜时，求证tanx＞x+;

(3)当x＞0时，证明：不等式e^x＞1+x+x².

Answer 1

分析：利用函数的单调性证明不等式是常用的一种方法.首先构造适当的函数关系式.在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数.一般地，若证明f(x)＞g(x)，x∈(a,b)，可以等价转化证明F(x)=f(x)-g(x)＞0.如果F′(x)＞0,则函数F(x)在（a,b）上是增函数，如果F(a)≥0,由增函数的定义可知，当x∈(a,b)时,有F（x）＞0,即f(x)＞g(x).

证明：(1)设f(x)=x-ln(1+x),x＞1.f′(x)=1-=,由x＞1,知f′(x)＞0.

∴f(x)在（1，+∞)上是增函数.又f(1)=1-ln2＞1-lne=0,即f(1)＞0,

∴f(x)＞f(1)＞0,

即x＞ln(1+x),(x＞1).

(2)设f(x)=tanx-(x+),则f′(x)=-1-x²=tan²x-x²=(tanx+x)·(tanx-x).

∵x∈(0,).

∴tanx＞x＞0.

∴f′(x)＞0,即f(x)在（0，）内递增.又f(0)=0.

∴当x∈(0,)时，f(x)＞0,即tanx＞x+.

(3)设f(x)=e^x-1-x-x²,

则f′(x)=e^x-1-x.

下面证明g(x)=e^x-1-x在x＞0时恒为正.

∵g′(x)=e^x-1,当x＞0时g′(x)=e^x-1＞0.

∴g(x)在(0,+∞)上为增函数.

当x＞0时g(x)＞g(0)=0,

即f′(x)在(0,+∞)上恒为正.

∴f(x)在（0，+∞)上为增函数.

又f(0)=e⁰-1-0-0=0,

∴x＞0时，f(x)＞f(0)=0.

∴e^x-1-x-x²＞0,

即x＞0时，e^x＞1+x+x²成立.