Question

13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，$\overrightarrow{m}$=（$\frac{a}{sin（A+B）}$，c-2b），$\overrightarrow{n}$=（sin2C，1），且满足$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0．
（1）求∠A的大小；
（2）若a=1，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （ I）由已知及平面向量数量积的运算可得2acosC+c-2b=0，由余弦定理整理得b²+c²-a²=bc，可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜A＜π，即可解得A的值．
（ II）由正弦定理及恒等变换的应用可得△ABC的周长l=a+b+c=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）=2sin（B+$\frac{π}{6}$）+1，结合范围0＜B＜$\frac{2π}{3}$，可求$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，即可得解周长的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（ I）∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，∴$\frac{a}{sin（A+B）}$•sin2C+c-2b=，…（2分）
∴$\frac{a}{sinC}•2sinCcosC+c-2b=0$，即2acosC+c-2b=0，…（3分）
由余弦定理得：2a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+c-2b=0，…（4分）
整理得b²+c²-a²=bc，∴cosA=$\frac{1}{2}$，∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（ II）∵cosA=$\frac{1}{2}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（7分）
由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，…（8分）
△ABC的周长l=a+b+c=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（B+$\frac{π}{3}$）]
=2sin（B+$\frac{π}{6}$）+1，…（10分）
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B$+\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，∴$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，…（11分）
因此2＜l≤3，故△ABC周长的取值范围为（2，3]．…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．