Question

5．已知点O为坐标原点，椭圆C$：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，点$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上是否存在一点P，使得$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}$？若存在，求出此时直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线的方程，代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合向量的加法的坐标表示，化简整理解方程即可得到所求直线方程．

解答 解：（I）由题意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）（1）当直线l与x轴垂直时，点P（2，0），
直线l的方程为x=1满足题意；
（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将y=kx+m代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，$△={（8km）^2}-4（4{k^2}+1）（4{m^2}-4）＞0，{x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{4{k^2}+1}}$．
${y_1}+{y_2}=k（{{x_1}+{x_2}}）+2m=\frac{2m}{{4{k^2}+1}}$．
由直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），过点（1，1），得m=1-k，
因此${x_1}+{x_2}=\frac{8k（k-1）}{{4{k^2}+1}}，{y_1}+{y_2}=\frac{2（1-k）}{{4{k^2}+1}}$．$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（{{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}}）=（{\frac{8k（k-1）}{{4{k^2}+1}}，\frac{2（1-k）}{{4{k^2}+1}}}）$，
$\frac{1}{4}{（{\frac{8k（k-1）}{{4{k^2}+1}}}）^2}+{（{\frac{2（1-k）}{{4{k^2}+1}}}）^2}=\frac{{4{{（1-k）}^2}}}{{4{k^2}+1}}=1$，
4（1-k）²=4k²+1，得$k=\frac{3}{8}，m=\frac{5}{8}$．满足△＞0．
所以直线l的方程为$y=\frac{3}{8}x+\frac{5}{8}$．
综上，椭圆C上存在点P，使得$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}$成立，
此时直线l的方程为$y=\frac{3}{8}x+\frac{5}{8}$或x=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程的求法，注意讨论直线的斜率，以及联立直线方程和椭圆方程运用韦达定理和判别式大于0，同时考查向量加法的坐标运算，属于中档题．