Question

10．如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，AD=AB=2，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AD}$=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．
（1）若棱AP的中点为H，证明：HE∥平面ABCD；
（2）求二面角A-PB-E的大小．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点G，连接HE，HG，GC，证明四边形EHGC是平行四边形，推出HE∥GC，即可证明HE∥平面ABCD．
（2）法一：如图，取PB的中点M，连接AC，DB交于点F，连接ME，MF，作FK⊥PB于点K，∠AKF是二面角A-PB-D的平面角，通过Rt△PDB～Rt△FKB，求出$∠AKF=\frac{π}{3}$，得到二面角A-PB-E的大小就是二面角A-PB-D的大小与直二面角D-PB-E的大小之和，求解二面角A-PB-E的大小．
法二：DA，DC，DP两两互相垂直，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，设PA的中点为N，连接DN，求出平面PAB的一个法向量，平面PBE的法向量，通过向量的数量积求解，二面角A-PB-E的大小．

解答 （本小题满分12分

解：（1）∵底面ABCD是平行四边形，AD=AB=2，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，
∴底面ABCD是边长为2的正方形，取AD的中点G，
连接HE，HG，GC，根据题意得HG=EC=1，且HG∥EC∥PD，
则四边形EHGC是平行四边形，…（3分）
所以HE∥GC，HE?平面ABCD，GC?平面ABCD，
故HE∥平面ABCD…（5分）
（2）法一：如图，
取PB的中点M，连接AC，DB交于点F，连接ME，MF，
作FK⊥PB于点K，容易得到∠AKF是二面角A-PB-D的平面角，…（7分）
$AF=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，Rt△PDB～Rt△FKB，易得$FK=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
从而$tan∠AKF=\frac{AF}{KF}=\sqrt{3}$，所以$∠AKF=\frac{π}{3}$…（8分）
由于点M是PB的中点，所以MF是△PDB的中位线，MF∥PD，且$MF=\frac{1}{2}PD$，
MF=EC，且MF∥EC，故四边形MFCE是平行四边形，则ME∥AC，
又AC⊥平面PDB，则ME⊥平面PDB，ME?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PDB，
所以二面角A-PB-E的大小就是二面角A-PB-D的大小与直二面角D-PB-E的大小之和…（11分）
故二面角A-PB-E的大小为$\frac{π}{3}+\frac{π}{2}=\frac{5π}{6}$…（12分）
法二：由（1）知，DA，DC，DP两两互相垂直，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，
设PA的中点为N，连接DN，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），P（0，0，2），N（1，0，1），易知DN⊥PA，DN⊥AB，所以DN⊥平面PAB，
所以平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow n=（1，0，1）$…（7分）
设平面PBE的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，因为$\overrightarrow{BE}=（-2，01）$，$\overrightarrow{BP}=（-2，-2，2）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{BE}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{BP}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}2x=z\\ x+y=z\end{array}\right.$，取z=2，则x=1，y=1，
所以$\overrightarrow m=（1，1，2）$为平面PBE的一个法向量．   （9分）
所以$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{3}{{\sqrt{2}×\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
从图形可知，二面角A-PB-E是钝角，所以二面角A-PB-E的大小为$\frac{5π}{6}$…（12分

点评 本题考查二面角的平面镜的求法，直线与平面平行于垂直的判定与性质的应用，考查空间想象能力以及计算能力．