Question

15．已知椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜2\sqrt{2}）$与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为4．

Answer 1

分析 由椭圆性质和均值定理得2bc≤b²+c²=8，再由△ABF面积S=bc，能求出△ABF面积的最大值．

解答 解：∵椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜2\sqrt{2}）$与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，
∴b²+c²=8，
∴2bc≤b²+c²=8，bc≤4，
当且仅当b=c时，取等号，
∵△ABF面积S=$\frac{1}{2}×2b×c$=bc≤4．
∴△ABF面积的最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查三角形面积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、均值定理的合理运用．