Question

5．已知椭圆C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），A、B为椭圆的左右顶点，抛物线C₂：y=-x²+1的顶点恰是椭圆的一个焦点，且点A、B在抛物线上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点B的直线l与C₁在x轴的上方交于P点，与C₂在x轴的下方交于Q点，若AP⊥AQ，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知焦点F（0，1），从而c=1，由点A、B在抛物线上，得-b²+1=0，由此能求出椭圆的方程．
（2）设直线l方程为y=k（x-1）（k≠0），代入C₁的方程，得（k²+2）x²-2k²x+k²-2=0，点P（x_p，y_p），推导出点P的坐标为（$\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2}，\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$）．由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1），k≠0}\\{y=-{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，得点Q的坐标为（-k-1，-k²-2k），由AP⊥AQ，能求出k，从而能求出直线l的方程．

解答 解：（1）∵椭圆C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），A、B为椭圆的左右顶点
抛物线C₂：y=-x²+1的顶点恰是椭圆的一个焦点，
∴焦点F（0，1），∴c=1，
∵点A、B在抛物线上，∴-b²+1=0，∴b=1，
∴a²=1+1=2，
∴椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}$=1．
（2）∵椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}$=1，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x-1）（k≠0），
代入C₁的方程，整理得
（k²+2）x²-2k²x+k²-2=0．（*）
设点P（x_p，y_p），
∵直线l过点B（1，0），
∴x=1是方程（*）的一个根，
由求根公式，得x_p=$\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2}$，从而y_p=$\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$，
∴点P的坐标为（$\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2}，\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$）．

同理，由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1），k≠0}\\{y=-{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，得点Q的坐标为（-k-1，-k²-2k），
∴$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$，$\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$），$\overrightarrow{AQ}$=（-k，-k²-2k），
∵AP⊥AQ，∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$=0，
即$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}•（-k）+\frac{-4k}{{k}^{2}+2}•（-{k}^{2}-2k）$=0，
∵k≠0，∴-k+2（k+2）=0，解得k=-4．
∴直线l的方程为y=-4（x-1）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、向量的数量积等知识点的合理运用．