Question

13．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PAH⊥平面DEF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中点N，连接FN，EN，则FN∥PD，EN∥AD，故而平面EFN∥平面PAD，所以EF∥平面PAD；
（Ⅱ）由侧面PAD⊥底面ABCD可得PA⊥平面ABCD，故PA⊥DE，由正方形的性质可得DE⊥AH，故DE⊥平面PAH，于是平面PAH⊥平面DEF．

解答 证明：（Ⅰ）取CD中点N，连接FN，EN．
∵在△CPD中，F，N为中点，∴FN∥PD．
∵正方形ABCD中，E，N为中点，
∴EN∥AD，
∵EN?平面EFN，FN?平面EFN，EN∩FN=N，PD?平面PAD，AD?平面PAD，PD∩AD=D，
∴平面EFN∥平面PAD，∵EF?平面EFN，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PA⊥底面ABCD，∵DE?底面ABCD，
∴DE⊥PA，
∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC中点，
∴Rt△ABH≌Rt△ADE，则∠BAH=∠ADE，∴∠BAH+∠AED=90°，则DE⊥AH，
∵PA?平面PAH，AH?平面PAH，PA∩AH=A，
∴DE⊥平面PAH，∵DE?平面EFD，
∴平面PAH⊥平面DEF．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的性质与判定，属于中档题．