Question

1．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，若S_n=na_n+1+2ⁿ，则数列{$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$}的前n项和T_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 S_n=na_n+1+2ⁿ，a₁=1，可得a₁=a₂+2，解得a₂，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得n（a_n-a_n+1）=2^n-1；$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，T₁=$\frac{1}{{a}_{1}-{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．即可得出．

解答 解：∵S_n=na_n+1+2ⁿ，a₁=1，∴a₁=a₂+2，解得a₂=-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n+1+2ⁿ-（n-1）a_n-2^n-1，∴n（a_n-a_n+1）=2^n-1；
∴$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，T₁=$\frac{1}{{a}_{1}-{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
数列{$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．