Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=4+（-$\frac{1}{2}$）^n-1，则3S_n-a_n-12n的值是-1；若对任意正整数n，恒有1≤p（S_n-4n）≤3成立，则实数p的取值范围是$（\frac{3}{2}，3]$．

Answer 1

分析 a_n=4+（-$\frac{1}{2}$）^n-1，利用等比数列的前n项和公式可得S_n=4n+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}×（-\frac{1}{2}）^{n}$．代入3S_n-a_n-12n即可得出．代入1≤p（S_n-4n）≤3化为1≤p$[\frac{2}{3}-\frac{2}{3}×（-\frac{1}{2}）^{n}]$≤3，即$\frac{3}{2}×\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤p≤$\frac{9}{2}×\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$．由数列$\{1-（-\frac{1}{2}）^{n}\}$可得：研究数列的奇数项、偶数项的单调性即可得出．

解答 解：∵a_n=4+（-$\frac{1}{2}$）^n-1，∴S_n=4n+$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=4n+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}×（-\frac{1}{2}）^{n}$．
则3S_n-a_n-12n=12n+3-2×$（-\frac{1}{2}）^{n}$-4-（-$\frac{1}{2}$）^n-1-12n=-1．
S_n-4n=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}×（-\frac{1}{2}）^{n}$．
∴1≤p（S_n-4n）≤3化为1≤p$[\frac{2}{3}-\frac{2}{3}×（-\frac{1}{2}）^{n}]$≤3，
∴$\frac{3}{2}×\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤p≤$\frac{9}{2}×\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$．
由数列$\{1-（-\frac{1}{2}）^{n}\}$可得：数列的奇数项为单调递减数列，最大值为$\frac{3}{2}$；数列的偶数项为单调递增数列，最小值为$\frac{3}{4}$，最大值趋近于1；
∴$\frac{3}{2}$＜p≤3．
故答案分别为：-1；$（\frac{3}{2}，3]$．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．