Question

6．求证：函数y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$是奇函数且在定义域上是增函数．

Answer 1

分析 根据奇偶性的定义与单调性的定义，即可证明函数y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$是定义域R上的奇函数，且为单调增函数．

解答 证明：函数y=f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$的定义域为R，
任取x∈R，都有f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
∴f（x）是定义域R上的奇函数；
又任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，∴2（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）＜0，且${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在定义域R上是单调增函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的定义与应用问题，是基础题目．