Question

17．已知函数f（x）=log₂x，若数列{a_n}的各项使得2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4成等差数列，则数列{a_n}的前n项和）

• A． $\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）
• B． $\frac{16}{3}$（4ⁿ-1）
• C． $\frac{16}{3}$（2ⁿ-1）
• D． $\frac{4}{3}$（2ⁿ-1）

Answer 1

分析 可求得d=$\frac{2n+4-2}{n+2-1}$=2，从而解得f（a_n）=2n+2，从而求得a_n=2²ⁿ⁺²=4ⁿ⁺¹，从而求和．

解答 解：∵2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4成等差数列，
∴d=$\frac{2n+4-2}{n+2-1}$=2，
∴f（a_n）=2+（n+1-1）2=2n+2，
即log₂a_n=2n+2，
故a_n=2²ⁿ⁺²=4ⁿ⁺¹，
故数列{a_n}是以16为首项，4为公比的等比数列；
故S_n=$\frac{16（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{16}{3}$（4ⁿ-1），
故选：B．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用．