Question

15．已知数列{a_n}满足2a₁+4a₂+…+2ⁿa_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由2a₁+4a₂+…+2ⁿa_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得：a₁=$\frac{1}{2}$；当n≥2时，2a₁+4a₂+…+2^n-1a_n-1=$\frac{n（n-1）}{2}$，2ⁿa_n=n，即可证明．
（2）由（1）可得：a_n=n×$\frac{1}{{2}^{n}}$．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵2a₁+4a₂+…+2ⁿa_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴a₁=$\frac{1}{2}$；当n≥2时，2a₁+4a₂+…+2^n-1a_n-1=$\frac{n（n-1）}{2}$．
∴2ⁿa_n=n，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$，当n=1时也成立．
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比数列，首项与公比都为$\frac{1}{2}$．
（2）解：由（1）可得：a_n=n×$\frac{1}{{2}^{n}}$．
∴数列{a_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}+2×（\frac{1}{2}）^{2}$+$3×（\frac{1}{2}）^{3}$+…+$n×（\frac{1}{2}）^{n}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$（\frac{1}{2}）^{2}+2×（\frac{1}{2}）^{3}$+…+（n-1）×$（\frac{1}{2}）^{n}$+n×$（\frac{1}{2}）^{n+1}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{n}$-n×$（\frac{1}{2}）^{n+1}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n×$（\frac{1}{2}）^{n+1}$=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．