Question

4．设非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=2，则|$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 对|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=2两边平方得出|$\overrightarrow{b}$|与向量夹角θ的关系，用θ表示出|$\overrightarrow{b}$|和|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|，利用三角函数的性质得出答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=2，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}=4$，
∴${\overrightarrow{b}}^{2}$=-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为θ，则$|\overrightarrow{b}|$=-2cosθ.$\frac{π}{2}＜θ≤π$．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4-4cos²θ=4sin²θ．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=2sinθ，
∴|$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2sinθ-2cosθ=2$\sqrt{2}$sin（$θ-\frac{π}{4}$）．
∴当$θ-\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即$θ=\frac{3π}{4}$时，|$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|取得最大值2$\sqrt{2}$．
故答案为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的图象与性质，属于中档题．