Question

12．方程$\frac{2+\sqrt{2}sinx}{2cosx+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}cosx+2}{2sinx+\sqrt{2}}$的解是{x|x=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z}．

Answer 1

分析 把原方程化为（sinx-cosx）[3+$\sqrt{2}$（sinx+cosx）]=0，求出sinx-cosx=0和sinx+cosx=-$\frac{3}{\sqrt{2}}$的解，并检验是否为原方程的解即可．

解答 解：方程$\frac{2+\sqrt{2}sinx}{2cosx+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}cosx+2}{2sinx+\sqrt{2}}$可化为：
（2+$\sqrt{2}$sinx）（2sinx+$\sqrt{2}$）=（2cosx+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{2}$cosx+2），
即（sinx-cosx）[3+$\sqrt{2}$（sinx+cosx）]=0，
解得sinx-cosx=0①，
或sinx+cosx=-$\frac{3}{\sqrt{2}}$②；
由①得，x=$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z，
经验证，x=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z是原方程的解；
由②得，sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{2}$＜-1，此时无解；
综上，原方程的解为{x|x=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z}．
故答案为：{x|x=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z}．

点评 本题考查了解分式方程的应用问题，也考查了解三角函数的方程问题，是基础题目．