Question

17．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x∈R，有f（x+4）=f（x）-f（8），且当x∈[2，4]时，f（x）=-2x+8．若函数y=f（x）-e^x-a在x∈（0，+∞）上至少有3个零点，则实数a的取值范围是[5-ln2，+∞）．

Answer 1

分析 根据条件求出f（8）=0，得到函数的周期是4，利用函数奇偶性和周期性的关系求出函数f（x）在一个周期上的图象，利用函数与方程之间的关系进行转化，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是偶函数，且f（x+4）=f（x）-f（8），
∴令x=-2，则f（-2+4）=f（-2）-f（8），
即f（2）=f（2）-f（8），
则f（8）=0，
即f（x+4）=f（x），
则函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵当x∈[2，4]时，f（x）=-2x+8．
∴当x∈[-2，0]时，x+4∈[2，4]，
则f（x）=f（x+4）=-2（x+4）+8=-2x．（x∈[-2，0]），
当x∈[0，2]时，-x∈[-2，0]
若f（x）=f（-x）=2x，．（x∈[0，2]），
由y=f（x）-e^x-a=0，得f（x）=e^x-a，
作出函数f（x）和g（x）=e^x-a在∈（0，+∞）上的图象如图：
当x∈[4，6]时，x-4∈[0，2]时，
则f（x）=f（x-4）=2（x-4）=2x-8．x∈[4，6]时，
当g（x）=e^x-a与f（x）=2x-8．x∈[4，6]相切时，
设切点为（m，2m-8），
则满足g′（m）=e^m-a=2，e^m-a=2m-8，
则2m-8=2，得2m=10，m=5，
即切点坐标为（5，2），
要使函数y=f（x）-e^x-a在x∈（0，+∞）上至少有3个零点，
则满足g（5）≤2，
即e^5-a≤2，则5-a≤ln2，
则a≥5-ln2，
故答案为：[5-ln2，+∞）

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出函数的周期，和一个函数在周期上的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个图象的交点问题，根据曲线相切的条件求出切点是解决本题的关键．