Question

16．△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且$\sqrt{5}$（sin²A+sin²B-sin²C）=2sinAsinB，cosA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
（1）求B的值；
（2）若b=10，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理将角化边，使用余弦定理求出cosC，由两角和的余弦函数公式得出cosB；
（2）利用正弦定理解出a，代入三角形的面积公式求出面积．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\sqrt{5}$（sin²A+sin²B-sin²C）=2sinAsinB，
∴$\sqrt{5}$（a²+b²-c²）=2ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵cosA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴B=$\frac{π}{4}$．
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{a}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}=\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得a=6$\sqrt{5}$．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×6\sqrt{5}×10×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=60．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题．